Sistemas de numeración

A continuación se presentan números en diferentes sistemas de numeración. Puede intentar deducir el valor de cada signo, posteriormente se expondrán algunas deducciones.

Sistema numeral	ejemplos		ejs. claves
egipcio		876
ático	𐅅ΗΗΗ𐅄ΔΔΔΠΙΙΙ	888	𐅄𐅅𐅆𐅇	5555
etrusco	𐌣𐌢𐌢𐌢𐌡𐌠𐌠𐌠	88	𐌣𐌢𐌢𐌢𐌢𐌡𐌠𐌠𐌠𐌠	99
romano	LXXXVIII	88	XCIX	99
chuvash	II/	876	I/	1666
griego (y derivados)	ΗΠΩ	888	ΑΙΡ	111
brahmi		888		555
árabe	غضفح	1888	ضفحغ	888000
sabeano, minaeano¹		282000		2280
chino (también japonés)	八百八十八	888	一十二萬三十	120030
hindú	८८८	888	१०००	1000
籌 (numeración con varillas)		1955119680		327
babilónico		59 o 3540 o...		1 o 60 o...
maya		88		42

La mayor dificultad en la deducción de los ejemplos presentados proviene del uso de bases distintas a 10, de la combinación de potencias y unidades o de cómo la sucesión de cifras determina la operación aritmética. El siguiente ejemplo de la escritura karosti es complicado por sus irregularidades y representa el número 1996

Deducciones y detalles

Se pueden concluir cinco categorías:

primera categoría. Egipcio

El egipcio es el sistema más arcaico como se deduce por el grado en que se apoya en la repetición: es puramente aditivo y sin base auxiliar. Sin embargo resulta más conveniente para el cálculo que las dos siguientes categorías.

segunda categoría

El ático, etrusco, romano y chuvash son similares. Podemos observar una secuencia de 3+1 elementos como en los grupos 𐅅ΗΗΗ, 𐅄ΔΔΔ y ΠΙΙΙ del ático 𐅅ΗΗΗ𐅄ΔΔΔΠΙΙΙ para expresar la cifra 8. Esto implica que existe una base auxiliar gráfica para reducir la repetición de elementos: la base es 10 y la sub-base es 5. Así en vez de tener que expresar como en egipcio:

El ático ΙΠΔΗΧΜ (posiblemente del s. VII AEC) es el sistema numérico más interesante de esta categoría. Es el más coherente por varias razones: es puramente aditivo; la sub-base 5 Π se compone gráficamente siguiendo un principio multiplicativo con las potencias Δ Η Χ Μ dando lugar a 𐅄 50, 𐅅 500... Además es acronímico, esto es, establece el signo según el de la primera letra de la palabra que los nombra:

Similares son el etrusco y el romano IVXLCDM. Los signos romanos no estaban relacionados en origen con el alfabeto (T. Mommsen, 1840) pero se forzaron a este por semejanza gráfica siendo sin embargo los únicos acrófonos atribuibles C (centvm) y M (mille). Tanto uno como otro tienen un rasgo claramente anómalo: la sustracción en subsecuencias crecientes:

• suma si A>B: MX = 1000 + 10 = 1010
• resta si A<B: XM = 1000 - 10 = 990

tercera categoría

Es muy difícil sacar conclusiones de este grupo sin una muestra amplia o si se desconoce la secuencia alfabética en la que se basa puesto que no suelen repetir ninguna cifra en cada número. Existen muchos signos pues existen signos específicos para la combinación unidad·potencia 10, 20, 30... 100, 200, 300.

En el brahmi sí se observa repetición, ya que no existe un signo específico para 600, 700, 800 y 900 y deben componerse a partir de 500.

En otros sistemas de numeración las cifras se corresponden con letras de un alfabeto. Este vínculo facilita el arte esotérico de la numerología.

Los numerales griegos aparecen hacia el s. V AEC. Usan el antiguo alfabeto iónico y no llegarían al número 900 con el alfabeto estándar. Fueron adaptados al hebreo al final del s. II AEC y a otros como el árabe, geʽez, armenio, georgiano, glagolitico, o cirílico.

Α	Β	Γ	Δ	Ε			Η	Θ
1	2	3	4	5	6	7	8	9
Ι	Κ	Λ	Μ	Ν	Ξ	Ο	Π
10	20	30	40	50	60	70	80	90
Ρ	Σ	Τ	Υ	Φ	Χ	Ψ	Ω
100	200	300	400	500	600	700	800	900

Hubo propuestas por parte de astrónomos y matemáticos para extender este sistema y poder representar magnitudes mayores utilizando la quinta potencia de la base B⁵ = 10⁵ = 10000. Como quiera que no existen signos específicos para 1000, 2000, ..., 9000, obsérvese el uso de la unidad con valor doble E=5000=5

1. mediante principios multiplicativos como M( γ ) = 3·10000 o M( φλδ ) = 534·10000 = 5,340.000. Hallando por ejemplo:

2. Apolonio de Perga extendió el sistema con potencias M( α ) = 10000, M( β ) = 10000², M( γ ) = 10000³, ...

M( β ) 'EΩOEχαι M( α ) 'ZPOEχαιΣΞΘ = 587,571,750,269, donde χαι significa 'más'

En hebreo (léase de derecha a izquierda) se añadían dos puntos sobre el signo para indicar su multiplicación por mil o bien se ordenaban crecientemente.

A veces el sistema de potencias no está completamente especificado y en tales casos se resuelve por adición:

• En el sistema hebreo no existen signos para 500, 600, 700, 800 y 900, pero 700 = 400 + 300
• En los numerales Brahmi. Puede observarse una cierta composición que sigue principios multiplicativos en las centenas y millares:

cuarta categoría

八百八十八=888

Consideremos el chino:

1. ¿es un sistema aditivo? en el aditivo se agrupan y suceden los signos de igual valor, por ejemplo el ático 𐅅ΗΗΗ𐅄ΔΔΔΠΙΙΙ tiene un patrón aBBBcDDDeFFF. Pero aquí observamos un patrón AbAcA: la interposición de otros elementos entre signos iguales, lo cual implica que adquieren diferente valor por su contexto o posición. no, entonces
2. ¿es un sistema multiplicativo? en este caso habrá que distinguir unidades y potencias

一十二萬三十=120030

Reflexionando sobre este ejemplo, no es difícil asumir que ciertas cifras conservan el diseño de su etapa aditiva 一=1, 二=2 y 三=3. Pareciera que 十=4 pero seamos prudentes: por ahora tenemos 1十2萬3十=120030. Asumimos base decimal; si observamos, 十 se interpone entre 1 y 2 por lo que solo puede ser una potencia y como 3十=30 entonces 十=10 y consecuentemente 萬=10000.

Lo que caracteriza a esta categoría son los principios multiplicativos y tiene como paradigma a la numeración china tradicional. En esta observamos que existen cifras para las potencias y específicas para todas las unidades (números inferiores a la base):

• unidades: 1-9 一二三四五六七八九
• potencias: 10 100 1000 10000 10⁸ 10¹⁶ 10³² 十百千万億兆京

el orden creciente o decreciente implica diferentes operaciones aritméticas:

• adición si A>B 十一 = 10 + 1 = 11
• multiplicación si A<B 一十 = 1 * 10 = 10

Existen otros sistemas no paradigmáticos, con rasgos mixtos, como los que existieron en el sur de Arabia (sabeano, minaeano, ...).

= 1000 1000 100 100 50 10 10 10 = 2280

En apariencia estamos ante un sistema similar al ático: aditivo por la repetición y agrupación de signos, base 10 y sub-base 5, aquí parcialmente acrofónico en 4 de sus 6 signos (otro, el 1, es como estamos acostumbrados, una línea vertical)

	/x/	/ʕ/		/m/	/ʔ/
	/xamsat/	/ʕasarat/		/miʔat/	/ʔalf/
1	5	10	50	100	1000

Parecido hasta que topamos con esto:

= 100 100 50 10 10 10 1000 1000 = 282000

Hay un evidente principio multiplicativo. Pareciera, como en chino, que si una subsecuencia es decreciente hay adición, si es creciente multiplicación. Sin embargo, algo no cuadra ¿cómo se representa el número 280000?

Lo anómalo es que el signo creciente, en este caso , realiza dos operaciones a la vez: multiplica pero también suma.

quinta categoría

८८८=888

consideremos el caso del hindú

1. ¿es un sistema aditivo? si así fuera ८८८ implicaría un valor ८=888/3=296 pero como quiera que 296 no es la potencia de ninguna base más pequeña 296=2·2·2·37, un número tan grande como 296 debería ser la base. Con esta base la igualdad de la segunda expresión १०००=1000 sería imposible. Si el caso fuera otro, por ejemplo, la sucesión de 3 elementos tales que ###=867 ⟶ #/3=289 y como 289=17² la base sería 17. No, entonces:
2. ¿es un sistema multiplicativo? no porque descartado el aditivo deberían interponerse otros signos que representen las potencias de la base. Es el caso de las potencias 百=100 o 十=10 en el chino 八百八十八 donde 八=8.
3. Concluimos que es un sistema posicional y al saberlo se deduce a simple vista que su base es 10, bastando con comparar el patrón de cifras AAA en ८८८=888con otro sistema decimal como el nuestro.

A diferencia del chino, en el sistema posicional la potencia de la base está implicita . Esto exige la creación de la posición vacante, origen del 0, cuyo estatus evolucionó hasta ser considerado un número más. Esto permite que una sucesión de cifras iguales como el hindú ८८८ equivalga implícitamente a 8·10² + 8·10¹ + 8·10⁰ = 800 + 80 + 8

= 327

En el caso de la numeración con varillas 籌, diferente del sistema tradicional, podemos observar un diseño aditivo de las cifras, con 3 constituido con 3 líneas y análogamente la cifra 2. En el último segmento el valor de la línea horizontal es de 5=7-2. La segmentación no es fácil por la yuxtaposición y similitud de los signos por lo que se diseña una alternancia en la orientación: el segundo segmento 2 orienta sus líneas horizontalmente.

Es un sistema posicional que surge en el s. V AEC. La posición vacía se representaba con un espacio dando lugar a potenciales ambigüedades hasta que se adoptó por influencia del sistema numeral hindú un signo específico.

El caso maya y babilónico es más difícil de deducir por ser sus bases diferentes de 10 pero son sistemas posicionales. ¿cuáles son sus bases?

= 59 o 3540

= 1 o 60

Si observamos el babilónico y contamos el número de rasgos, en este caso marcas de cuña, veremos que cada cifra tiene un diseño aditivo no obstante distinto para unidades y decenas. Se parece a un sistema aditivo y decimal como el ático.

La duda la genera que los ejemplos también equivalgan a 3540 y 60 respectivamente. La relación existente es 3540=59·60+0 y 60=1·60+0 por lo que estamos ante el primer sistema de numeración (2000 AEC) de base 60 y posicional en el cual la posición vacía no se representa (realmente sí se marca dejando un espacio vacío pero si se ubica al final del número es ambiguo)

La elección de la base 60 tiene ventajas en el cálculo fraccionario, ya que es el número más pequeño que es divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 10 entre otros mientras que este intervalo la base 10 sólo lo es por 1, 2, 5 y 10 . Pervive en la geometría y en la medida del tiempo dos ámbitos muy asociados a la astronomía.

= 42

2·B¹ + 2·B⁰ = 42 ⟶ B + 1 = 21 ⟶ B = 20;

No obstante el maya presenta una irregularidad en la segunda potencia de la base, B²=18·20=180 y no B²=20·20=400 como se esperaba.

El babilónico y maya poseen sub-bases gráficas deducibles 10 y 5 respectivamente. Esto puede suscitarnos la pregunta ¿cómo se determinan las sub-bases más convenientes de una base? pues se elige un divisor cercano a la raíz cuadrada de la base, así:

• de 60 la raíz es ~7.7 y sus divisores son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30 y 60. Por lo que elegiríamos uno del par divisor 6·10.
• de 20 la raíz es ~4.5 y sus divisores son 1, 2, 4, 5, 10 y 20. Por lo que elegiríamos uno del par divisor 4·5.

Parametrización

Sistema numeral	base	potencias de la base	unidades, sub-bases gráficas	operaciones aritméticas
egipcio	10			adición
ático	10	Δ Η Χ Μ ; 𐅄 𐅅 𐅆 𐅇	Ι Π	adición
etrusco	10	𐌢 𐌣	𐌠 𐌡	adición
romano	10	X C M ; L D	I V	adición y sustracción
chuvash	10	;	I /	adición
egeo*	10			adición
griego (y derivados)*	10	Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω	Α Β Γ Δ Ε Η Θ	adición
Brahmi*	10			adición
karosti*	10			adición y multiplicación
sabeano, minaeano	10			adición y multiplicación
chino (también japonés)	10	十百千万億兆京	一二三四五六七八九	adición y multiplicación
hindú	10	ninguna (posicional)	०१२३४५६७८९	x*B^(n+1)+y*B^n+...
籌 (numeración con varillas)	10	ninguna (posicional)		x*B^(n+1)+y*B^n+...
babilónico	60	ninguna (posicional)	(1 y 10; 0 vacante)	x*B^(n+1)+y*B^n+...
maya	20	ninguna (posicional)		x*B^(n+1)+y*B^n+...

Podemos observar que en la mayor parte de las culturas, el signo para 1 es una línea. Tal diseño se observa también en las marcas de los huesos prehistóricos

Conclusión y categorías

Para una clasificación más pormenorizada lea el capítulo 23 del libro 'Histoire universelle des chiffres' de Georges Ifrah.

¿cómo obtiene una cifra como '3' su valor 300 en un número como 1315?

A. cifra: en las tres primeras categorías la cifra determina el valor: basta con sumar todas las cifras para determinar el número, por lo que su orden es irrelevante a pesar de existir convenciones sobre su orden y agrupación (se exceptúa la numeración romana).

B. cifra y contexto: incorpora procedimientos multiplicativos y el valor lo determina la cifra y el contexto. Por ejemplo, en una subsecuencia, el orden creciente o decreciente implica diferentes operaciones aritméticas:

• suma si A>B: mil diez = 1000 + 10
• multiplicación si A<B: diez mil = 10 * 1000

Este principio multiplicativo se corresponde con un principio que ya existía en la expresión oral de la mayoría de las lenguas (Georges Ifrah, 1994).

Existen cifras para las potencias de la base y específicas para las unidades (números inferiores a la base).

C. cifra y posición: en el sistema posicional la cifra '3' puede valer 3, 30 o 300 según su ubicación en los números 13, 131 o 311.

La notación explicita los coeficientes mientras las potencias están implícitas. En muchos sistemas no posicionales con principios multiplicativos se han hallado muestras abreviadas en las que se prescinde de las potencias, sin embargo no se ha completado el último requisito del sistema posicional: inventar un signo 0 para la posición vacante. Es el caso del sinhala:

La sencillez y potencia del sistema no debe engañarnos: concebir este sistema exigió milenios y fue ignorado por civilizaciones avanzadas como la egipcia y la griega.

El sistema hindú perfecciona el sistema posicional, pero no fue el primero. Antes de este otras tres culturas lo idearon de una manera imperfecta:

• en el 2000 AEC, los babilonios
• poco antes del comienzo de nuestra era, los chinos
• entre el s. IV y IX, los mayas

Eran imperfectos en tres aspectos:

1. diseño de las unidades: a pesar de poseer bases 60, 10 y 20 el diseño de las unidades no era distintivo ni fácilmente percibible ya que se basaba en la adición de solamente dos rasgos gráficos: líneas de diferente orientación o bien punto y línea:

Este carácter ideográfico que sigue los principios de adición es reconocible en la mayoría de los sistemas de numeración en las primeras cuatro cifras como en १२३ / ١‎٢ ٣‎ / 123 o en el chino 一二三 pero también en 五=5. Para números superiores se impone el principio psicológico de que es difícil percibir a la vez más de cuatro elementos (Georges Ifrah, 1994), motivando otros diseños.

2. bases: la base maya no era sistemática ya que B²=18·20 y no como se espera B²=20²=400. Esto supuso un perjuicio importante para su aritmética.

3. el cero:

   • su primera representación fue en el s. IV en el manuscrito Bakhshali. En la numeración indo/árabe se representa de manera mínima como un punto: por ejemplo en el signo árabe (٠)
   • no fue desarrollado por la cultura china, que lo importó de los numerales hindús
   • en la numeración maya se representa como
   • en el sistema babilónico se expresaba mediante un espacio vacío dando lugar a inevitables ambigüedades (posiciones vacías sucesivas 00..., o finales ...0) como en 2 y 120 (2×60), 3 y 180 (3×60), 4 y 240 (4×60). Posteriormente, en el s. IV AEC, aparece el cero en posición media:

Su representación no implica sin embargo su inmediato estatus como un número más similar a 1, 2...9

¿cuál es su etimología? en indio es 'sunya' que significa vacío y en chino 零:

From Middle Chinese零 (leng) with an original meaning of a small rainfall. The character was later repurposed in 1248 by mathematician Li Ye to mean zero, extending from its a little bit (of rain) meaning to indicate *a bit more remaining

Este sistema posicional capacita a los signos para las operaciones aritméticas lo cual contrasta con los anteriores sistemas que son notaciones abreviadas.

Bibliografía

Ifrah, G. (2000). The universal history of numbers : From prehistory to the invention of the computer. New York etc: John Wiley.